CAMBIOS ESTRUCTURALES (TRASLACIONES, REFLEXIONES Y CONTRACCIONES-DILATACIONES) A LOS GRÁFICOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS (1)

Vamos a graficar (paso a paso) la función:

 y = 3cos(2x + π) − 1

Para comenzar, mostraremos el gráfico base: y = cos(x).

Cuando se realizan cambios combinados a una función base, siempre sugiero que primero se trabaje con las dilataciones-contracciones (vertical-horizontal en cualquier orden), luego la traslación horizontal (desfase) y dejar al final la traslación vertical.

Comenzaremos con la contracción-dilatación horizontal que se aplicó en este caso, es decir, graficaremos ahora a y = cos(2x):

Recordemos que el período de la función coseno es 2π y en el gráfico se resalta (en verde) una porción del gráfico ubicada en [0,2π] que es la que se repite cada 2π. El período de la nueva función y = cos(2x) es 2π/2 = π, donde 2 es el factor que multiplica a x. Esto implica que la porción de gráfico que se repite en y = cos(x) se contrae a un período de π (como se muestra otra vez en verde) y esa nueva porción de gráfico se repite cada π para obtener a y = cos(2x).

 

Continuaremos ahora con la contracción-dilatación vertical, es decir, graficaremos ahora a

y = 3cos(2x):

 

Observemos que, en este caso, simplemente cambiamos el rango de [-1,1] a [-3,3] en virtud del factor 3 que afecta a cos(2x). Por cierto, el valor absoluto de ese factor 3 es lo que conocemos como amplitud. Y así queda el gráfico de y = 3cos(2x):

Ahora grafiquemos y = 3cos(2x + π):

Esto se trata de una traslación horizontal. Calculamos el desfase igualando a cero todo lo que está dentro del paréntesis del la función y resolvemos esa ecuación:

2x + π = 0  ⇒  2x = −π  ⇒  x = −π/2

Por tanto, el desfase es de −π/2, es decir, que el gráfico violeta se "moverá" a la izquierda π/2 unidades como se observa en el gráfico. Y abajo, mostramos entonces el gráfico correspondiente a y = 3cos(2x + π).

Finalmente, realizaremos la traslación vertical que nos llevará al gráfico definitivo

y = 3cos(2x + π) − 1

 

Ese valor −1 nos indica que el gráfico debe trasladarse una (1) unidad hacia abajo como se mostró en el gráfico anterior. En definitiva, tenemos el gráfico final esperado, el gráfico de

y = 3cos(2x + π) − 1:

A continuación, se muestra un análisis de la función y = 3cos(2x + π) − 1.

• Dominio: R
• Rango: [−4,2]
• Amplitud: 3
• Período: π
• Paridad: Par
• Desfase: −π/2
• Corte con el eje Y: (0,−4)
• Puntos Máximos en el intervalo [0,2π]: (π/2,2), (3π/2,2)
• Puntos Mínimos en el intervalo [0,2π]: (0,−4), (π,−4), (2π,−4)