Estudio de las Funciones Trigonométricas

Nos concentraremos solamente en las funciones seno y coseno cuyo rango básico es [−1,1]. Ese será siempre nuestro punto de partida para calcular los rangos de las siguientes funciones (presten mucha atención a los colores): El rango de la función y =  4 sen(7x + 5π)  − 3  es: [(−1). 4   − 3 , 1. 4   − 3 ] = [−4 − 3, 4 − 3] =  [−7,1] El rango de la función y =  5  −  8 cos(9x − 6π) es: [(−1). 8  +  5 , 1. 8  +  5 ] = [−8 + 5, 8 + 5] =  [−3,13]

  El período de      es   .   El período de      es   .   El período de es .   El período de es .

  Para calcular el desfase de       debemos resolver la ecuación:       Por tanto, el desfase es  3π/7 . Para calcular el desfase de       debemos resolver la ecuación: Por tanto, el desfase es  −5π/6 . Para calcular el desfase de      debemos resolver la ecuación:       Por tanto, el desfase es  0 .

La amplitud de       es  8 . La amplitud de       es  4/7 .

El gráfico de  y = f(x) = 3cos(2x + π) − 1  también se puede elaborar de otra forma: Determinamos el período de la función: 2π/2 = π (donde 2π es el período de la función coseno y 2 es el factor que multiplica a la x en la fórmula de la función que nos piden graficar). Luego, dividimos entre 4 el valor del período de la función, por lo que nos queda (en este caso):  π/4 . Determinamos el desfase de la función: 2x + π = 0 ⇒ x =  −π/2 . Calculamos cinco (5) valores claves... El  primero  siempre será  −π/2  (el desfase), el  segundo  es  −π/2  +  π/4  = −π/4. El  tercero  es −π/4 +  π/4  = 0. El  cuarto  valor es 0 +  π/4  = π/4. El  quinto  es π/4 +  π/4  = π/2. Este procedimiento es el mismo para todos los gráficos que vayan a hacer por este método. Eso nos permite obtener lo...

Vamos a graficar (paso a paso) la función:   y = 3cos(2x + π) − 1 Para comenzar, mostraremos el gráfico base:  y = cos(x) . Cuando se realizan cambios combinados a una función base, siempre sugiero que primero se trabaje con las dilataciones-contracciones (vertical-horizontal en cualquier orden), luego la traslación horizontal (desfase) y dejar al final la traslación vertical. Comenzaremos con la contracción-dilatación horizontal que se aplicó en este caso, es decir, graficaremos ahora a  y = cos(2x) : Recordemos que el período de la función coseno es 2π y en el gráfico se resalta (en verde) una porción del gráfico ubicada en [0,2π] que es la que se repite cada 2π. El período de la nueva función  y = cos(2x)  es 2π/2 = π, donde 2 es el factor que multiplica a x. Esto implica que la porción de gráfico que se repite en  y = cos(x)  se contrae a un período de π (como se muestra otra vez en verde) y esa nueva porción de gráfico se repite ca...

GRÁFICO: DOMINIO:   R  − {xϵ R  : x = kπ donde kϵ Z } RANGO:  (− ∞ ,−1] U [1,+ ∞ ) PUNTOS DE CORTE CON EL EJE X:  No hay. PUNTO DE CORTE CON EL EJE Y:  No hay. COORDENADAS DE LOS PUNTOS MÁXIMOS:  No hay. COORDENADAS DE LOS PUNTOS MÍNIMOS:  No hay. PERÍODO:  2π. PARIDAD:  Impar.

  GRÁFICO: DOMINIO:   R  − {xϵ R  : x = (2k+1)π/2 donde kϵ Z } RANGO:  (− ∞ ,−1] U [1,+ ∞ ) PUNTOS DE CORTE CON EL EJE X:  No hay. PUNTO DE CORTE CON EL EJE Y:  (0,1). COORDENADAS DE LOS PUNTOS MÁXIMOS:  No hay. COORDENADAS DE LOS PUNTOS MÍNIMOS:  No hay. PERÍODO:  2π. PARIDAD:  Par.

  GRÁFICO: DOMINIO:   R  − {xϵ R  : x = kπ donde kϵ Z } RANGO:  R PUNTOS DE CORTE CON EL EJE X:  ((2k+1)π/2,0), donde kϵ Z . Sin embargo, si solo tomamos en cuenta el intervalo [0,2π], los puntos de corte serían (π/2,0) y (3π/2,0). PUNTO DE CORTE CON EL EJE Y:  No hay. COORDENADAS DE LOS PUNTOS MÁXIMOS:  No hay. COORDENADAS DE LOS PUNTOS MÍNIMOS:  No hay. PERÍODO:  π. PARIDAD:  Impar.

  GRÁFICO: DOMINIO:   R  − {xϵ R  : x = (2k+1)π/2 donde kϵ Z } RANGO:  R PUNTOS DE CORTE CON EL EJE X:  (kπ,0), donde kϵ Z . Sin embargo, si solo tomamos en cuenta el intervalo [0,2π], los puntos de corte serían (0,0), (π,0) y (2π,0). PUNTO DE CORTE CON EL EJE Y:  (0,0). COORDENADAS DE LOS PUNTOS MÁXIMOS:  No hay. COORDENADAS DE LOS PUNTOS MÍNIMOS:  No hay. PERÍODO:  π. PARIDAD:  Impar.

  GRÁFICO: DOMINIO:   R RANGO:  [−1,1] PUNTOS DE CORTE CON EL EJE X:  ((2k+1)π/2,0), donde kϵ Z . Sin embargo, si solo tomamos en cuenta el intervalo [0,2π], los puntos de corte serían (π/2,0) y (3π/2,0). PUNTO DE CORTE CON EL EJE Y:  (0,1). COORDENADAS DE LOS PUNTOS MÁXIMOS:  (2kπ,1), donde kϵ Z . Sin embargo, si solo tomamos en cuenta el intervalo [0,2π], los puntos máximos serían (0,1) y (2π,1). COORDENADAS DE LOS PUNTOS MÍNIMOS:  (π+2kπ,−1), donde kϵ Z . Sin embargo, si solo tomamos en cuenta el intervalo [0,2π], el único punto mínimo sería (π,−1). PERÍODO:  2π. PARIDAD:  Par.

GRÁFICO: DOMINIO:   R RANGO:  [−1,1] PUNTOS DE CORTE CON EL EJE X:  (kπ,0), donde kϵ Z . Sin embargo, si solo tomamos en cuenta el intervalo [0,2π], los puntos de corte serían (0,0), (π,0) y (2π,0). PUNTO DE CORTE CON EL EJE Y:  (0,0). COORDENADAS DE LOS PUNTOS MÁXIMOS:  (π/2+2kπ,1), donde kϵ Z . Sin embargo, si solo tomamos en cuenta el intervalo [0,2π], el único punto máximo sería (π/2,1). COORDENADAS DE LOS PUNTOS MÍNIMOS:  (3π/2+2kπ,−1), donde kϵ Z . Sin embargo, si solo tomamos en cuenta el intervalo [0,2π], el único punto mínimo sería (3π/2,−1). PERÍODO:  2π. PARIDAD:  Impar.